补数算法专辑--科学速算与珠心算

言


要告诉下面，不要把算盘丢掉，猴子吃桃子是很危险的。 ——周恩来


最有价值的知识是关于方法的知识。 ——达尔文


补数算法，来源于基本的加减运算，它是按照数学原理和珠算的特点，在简化运算步骤实践过程中所形成的，如果广为应用，既可大大减少拨珠动作，又能显著提高工作效率。对于提高珠、心算的计算速度，结合“一口清”心算法，更有显著之效果。


算法钻研日日新，


乘除口诀渐消沉。


江山代有人才出，


补数算技冠古今。


——魏如久





第一章 预备概念





1、补数和齐数


若两数之和是10、100、1000、……10n的乘方数（n是正整数），这两个数就互为补数。


例如：4和6、88和12、455和545等就互为补数。


看补数的方法：某数是几位数，它的补数也是几位数。若补数的有效数字前面有空位，用“0”补齐。互为补数的各对应位，末位相加为10，其余各位相加为9，两数之和，叫做它们的齐数。


某数与其补数、齐数的关系如下：


某数＋补数＝齐数


齐数－补数＝某数


齐数－某数＝补数


如：齐数＝某数＋补数 补数半数


10 2 8 4


100 88 12 06


1000 998 002 001





2、强数和填数


位数相同，比某数的首位数字大1，后面带若干个零的数，叫某数的强数，例如：317、369、383的强数是400。某数的强数与该数之差，叫做该数的填数，例如：389的填数是11等等。计算填数方法：首位不填，中间相加成9，末位相加成10。


某数与其强、填数的关系如下：


某数＋填数＝强数


强数－某数＝填数


强数－填数＝某数


补、填数应用于珠算四则运算均较为简捷，特别是乘除法。下面分章节叙述。所以应养成心算凑整方法，求一数的补（填）数，就不必另行拨珠运算了。





第二章 加减法





第一节 无诀加减法


在实际工作中，加减法应用最广泛，约占所有计算量的80%左右。同时，加减法又是乘除运算的基础，不掌握过硬的加减法，乘除运算就不可能达到既准又快的水平。


加法的算式是：被加数＋加数＝和。被加数和加数可以交换位置，其和不变。


减法的算式是：被减数－减数＝差。被减数和减数不可交换位置。


加法和减法互为逆运算。


补数加减法的理论依据是：“加原数=进1减补数”，“减原数=退1加补数”。其实质是将原数变成“10”，进行加减，用补数调整。


一、加法


珠算加法的特点是“补五进十”。上珠一颗作5，下珠一颗作1，下珠满5颗用上珠一颗代替。因此，在直接加减法的同时，有补五加法，算盘相邻两档，本档满10要向前档进1，因此，珠算是十进制加法。


（一）一位数加法


一位数加（减）法是最基本的运算，因为，计算多位数加（减）时，都要分解为一位数的加（减），所以，只要能熟练地掌握一位数的加（减），就能计算多位数的加（减）。珠算一位数加法，分为外珠够加和外珠不够加两类：


1、外珠够加类


如：3+1，2+3，4+5，2+6。先分别在算盘上拨3、2、4、2靠梁，再分别把加数1、3、5、6在同档上拨入，得数分别为4、5、9、8。


它们相加有一个共同的特点是：外珠（靠上下两边的珠）都比加数大，这叫同档相加看外珠，外珠够加直接加入加数。


2、外珠不够加类


外珠不够加，就是外珠比加数小，直接加不进加数。这种情况就需要利用补数参与运算。


如：4＋7、8＋5、9＋6、3＋8。先分别在算盘上拨被加数靠梁，它们的外珠都比加数小，无法拨入加数，于是就采取“加原数=进1减补数”这一规律来解决。这些加数的变码分别是：


7＝10－3，5＝10－5，6＝10－4，8＝10－2。


用这些加数的变码分别换出原式中的加数，其形式变为：


4＋7＝4＋10－3，8＋5＝8＋10－5，9＋6＝9＋10－4，3＋8＝3＋10－2。


在算盘上计算时，先分别拨被加数4、8、9、3入盘，然后，分别拨加数7、5、6、8入盘时，因外珠小于加数，直接加不进加数，只好用十位进1，本位减加数的补数，即“进1减补数”加数入盘，得数分别为：11、13、15、11。


再如：7＋7，5＋9，6＋8，7＋6。


这些也是外珠小于加数，直接加不进加数，只好“进1减补数”。变码为7＋7＝7＋10－3，5＋9＝5＋10－1，6＋8＝6＋10－2，7＋6＝7＋10－4。


在算盘上计算时，先分别拨被加数7、5、6、7入盘。先分别用“进1减补数”，拨加数7、9、8、6入盘，其和分别是14、14、14、13。


这四道题的拨珠形式与上面四道题的拨珠形式有所不同，在减补数时，都需要“减5加凑”来减，要反复练习，熟练掌握。凑即凑数，是指若两个一位数的和是5，（只有三对，1与4，2与3，0与5）这两个数互为凑数。如2与3凑成5，2是3的凑数，3也是2的凑数。


利用补数作加法，是先进1后减补数，这样合乎珠算由左而右的拨珠方向，指路不迂回，能提高运算效率。


上述加法运算的法则概括地说就是：同位相加看外珠，外珠够加加加数，外珠不够加进1减补数。


（二）多位数加法


多位数加法是利用补数进行运算，即逐位单独用这一位原数（加数）的补数去合10。如4972的各位补数分别是6、1、3、8（每位补数上下不能联合，是逐位单独动用）。因此，在多位数加法的运算过程中，逐位分别采用如同一位数的“进1减补数”。运算方法仍是“同位相加看外珠，外珠够加加加数，外珠不够加进1减补数。”


如5729＋3816＝9545


在算盘上先拨被加数5729入盘，再依次拨加数3816入盘，得数为9545。


5、7、2、9同位相加看外珠：


+3，……千位外珠4，加3够加，加3；


+10，……百位外珠2，加8不够加；


-2，……前位进1，本位减补数2；


+1，……十位外珠7，加1够加，加1；


+10，……个位外珠0，加6不够加；


-4，……前位进1，本位减补数4。得数为9545。





二、减法


减法是加法的逆运算。加法的特点是：“补五进一”，减法的特点是“破五退一”。它们在一切方面都是正反关系。


（一）一位数减法


一位数减法，分内珠够减和内珠不够减两类：


1、内珠够减类


如：4－3、5－2、8－6、9－7，在算盘上先分别拨被减数4、5、8、9入盘，再分别在同档拨去减数3、2、6、7，得数分别是1、3、2、2。


它们相减有一个共同特点是：内珠都比减数大，这叫同档相减看内珠，内珠够减直接减去减数。


2、内珠不够减类


内珠不够减，就是内珠比减数小，直接减不掉减数，于是就采取“减原数=退1加补数”这一规律来解决。这些减数的变码分别是：


-7＝-10＋3，-8＝-10＋2，-9＝-10＋1，-6＝-10＋4。


用这些减数的变码分别换出原式中的减数，变码式为：10－7＝10－10＋3，12－8＝12－10＋2，14－9＝14－10＋1，13－6＝13－10＋4。


在算盘上先分别拨被减数10、12、14、13入盘，然后拨去减数7、8、9、6时，因同档内珠小于减数，直接减不掉减数，只好用十位退1，本位加减数的补数，即“退1加补数”，拨去减数，得数分别是3、4、5、7。


后二题和前二题拨珠形式有所不同，在加补数时都需用“加5减凑”来加，要反复练习，熟练掌握。


上述减法运算的法则概括地说：同位相减看内珠，内珠够减减减数，内珠不够减退1加补数。





（二）多位数减法


在多位数减法的运算过程中，逐位分别采用如同一位数的“退1加补数”。运算法则仍是“同位相减看内珠，内珠够减减减数，内珠不够减退1加补数”。


如9545－3816＝5729，在算盘上先拨被减数9545入盘，再依次拨去减数3816，得数为5729。


9545同位相减看内珠：


－3，……千位内珠9，减3够减，减3；


－10，……百位内珠为5，减8不够，前位退1；


+2，……本位加补数2；


－1，……十位内珠为4，减1够减，减1；


－10，……个位内珠为5，减6不够减，前位退1；


+4，……本位加补数4。





第二节：脑珠结合加减法





脑珠结合加减法，既能增强脑力，又能简化运算程序，减少大量的拨珠动作，提高运算速度。


（一）简捷加法


1、加1减补法


口诀：“前加1，和必余，减补数，定无疑”。（此法适用于位数相同的加法）。


例：3456+9989=13445（减少拨珠6次）


算法：（1）3456前加1，得13456；


（2）13456减去9989的补数0011，得13445。


2、加齐减补法


口诀：“齐先加，和必大，减补数，不会差”。（此法适用于多位数字相加）


例：19002+998=20000（减少拨珠5次）


算法：（1）19002先加998的齐数1000得20002；


（2）20002减去补数002得20000。


3、取强减填法


口诀：“先凑强，后减填”（此法适用于首位数字大于1的加数）。


例：884+896=1780（少拨珠3次）


算法：（1）取896的强数900加上884，得1784；


（2）1784减去896的填数4，得1780。


4、一目三行连加弃九法


先研究一目三行加法的进位规律。三行数字相加的进位规律有三种情况：一是有进2的，如6+8+9=23；二是有进1的，如5+3+7=15；三是有不进位的，如2+1+4=7。据研究得出，三行数字组合有165种，其中111种是进1的（占总数的67%），有31种是进2的，有23种是不进位的。所以三行数字组合进1的可能性最大。为了省略各位上的和进1，减少拨珠量，我们可以利用补数原理，作一次性的进一，即先在首位加1个10的整数次幂，然后，再用中间各位减去9，末位减去10的方法。如三行六位数相加，首位加1，即增加100000，中间各位都减9，即减少了99990，末位减10，即增减相抵，正好轧平，原来的和不变。


为了将竖列三个同位数之和计算方便一些，可假设有竖列三个同位数之和都进位一。这样就得出“首位进1”的普遍规律。若某竖列三个同位数之和大于或小于10，可分别通过加减来调整。


计算中间各位时，因已提前进位一，本应先减去10，然后，再加上大于10的数，但后边的各位还要进位一，所以中间各位减去9，就等于减去10，这样就得出“中间各位减去9”的结论。若中间各位和大于或小于9，也通过加减来调整。


计算末位时，因提前进位一，后边不再进位，应从末位和中减去10，余几加几。


根据上述推理，得出弃九法的运算方法是：


1、计算首位时，三个数字相加之和再加1，就是提前进位1。如和数是6拨入7，和数是14就拨入15，和数是23就拨入24。


2、计算中间各位时，三个数字相加之和等于或大于9的，将9弃去，只加和数弃9后的余数。如和数是14就加5，和数是23就加14，若三个数字之和小于9的，则减去它与9的差数。如和数是6就减3。在实际运算时，中间各位的同位三个数中有一个是9或两个之和是9，可以把这个9舍去，余几就在本位上加几。如同位三个数8、9、6，可直接加上14；4、5、7可直接加上7。


3、在计算末位时，三个数相加之和等于或大于10的，将10弃去，只加弃10后的余数。如和数是13即加3，和数是24即加14，若三个数字相加之和小于 10的，则减它与10的差额。如和数是7即减3。


把上述弃九法的运算法则概括地说就是：首和进1拨入，中和弃九加余，末和弃十加余，欠弃拨去差数。


例如：1259.63


615.49


2940.13


850.14


304.70


＋613.03


------------------


6583.12


在算盘上计算形式：


1259.63


615.49


＋2940.13


-------------------------


+4…………首位（千位）和是3，后位进1，加4；


+8………百位弃九余8，加8；


+1…………十位弃九余1，加1；


+5…………个位数弃九余5，加5；


+2…………十分位弃九余2，加2；


+5…………末位（百分位）弃十余5，加5。三行之和为4815.25。





850.14


304.70


613.03


-----------------------


+18…………首位和是17，后位进1，加18；


-3…………十位欠弃九，减差数3；


-2…………个位欠充九，减差数2；


-1…………十分位欠弃九，减差数1；


-3…………末位欠弃十，减差数3，累加和为6583.12。


上述弃九法也适应于一目二行连加。


一目四行、五行连加，用“弃双九法”。其运算法则可概括为：首和进二拨入，中弃双九加余，末弃双十加余，欠弃拨去差数。举例略。


（二）简捷减法


1、减齐加补法


口诀“齐先减，差必短。补再加，理当然”。


例：3832－994=2838（少拨4次）


算法：（1）3832先减去1000得2832；


（2）2832加上994的补数006，得2838。


2、倒减变向法


口诀：“小减大不难，空借首位前。借那要还那，随借要随还。借债没还清，补数变答案。如还清所借，梁珠为答案。”（此法适用于加减算法中，开始或中途发生减数小于被减数的混合运算）。


例：9998－19999＋10011＋1638－8879－1658＋1889＝3000


（1）9998－19999＝－10001（十万位借1，－20000加上1，借债没还补数变答案，梁珠为89999）；


（2）＋10011＝10（借债还清，梁珠为答案）；


（3）＋1638＝1648；


（4）－8879＝－7231（万位借1，－9000加121，补数变答案，梁珠为2769）；


（5）－1658＝－8889（同上）；


（6）+11889＝3000（万位借1还清，梁珠为答案）。


上述六笔混合运算的倒减法，减少了4次清盘和4次重新布数，提高了效率一倍。


3、一目三行连减弃九法


减法是加法的逆运算。一目三行也可以应用弃九法，只要三行合并后将加改作减或减改作加就行。


其运算法则可概括为：首和进一拨去，中和弃九减余，欠弃拨入差数。


如：4 9 1 3 5


－3 4 7 2


－9 5 0 6


－6 3 9 4


－2 1 6 0


－1 4 0 3


－4 2 3 5


--------------


2 1 9 6 5


在盘上计算形式，拨被减数49135入盘。


－3 4 7 2


－9 5 0 6 第一组（够弃减余）


－6 3 9 4


--------------


－19…………首位和18，后位进1，减去19；


－3…………百位弃九余3，减去3；


－7…………十位弃九余7，减去7；


－2…………末位弃十余2，减去2。得数为29763。





－2 1 6 0


－1 4 0 3 第二组（欠弃加差）


－4 2 3 5


------------


－8…………首位和7，后位进1减去8；


+2…………百位弃九欠2，加差数2；


0…………十位弃九，为0；


+2…………末位弃十欠2，加差数2。得数为21965。





第三章：补数乘法





一、运算原理


我们用9作乘数，研究以下1~9乘以9的内在关系。9的补数是1，齐数是10。


1×9＝1×（10－1）＝10－1×1，1作被乘数可看作减乘数补数1倍；


2×9＝2×（10－1）＝20－2×1，2作被乘数可看作减乘数补数2倍；


3×9＝3×（10－1）＝30－3×1，3作被乘数可看作减乘数补数3倍；


4×9＝4×（10－1）＝40－4×1，4作被乘数可看作减乘数补数4倍；


5×9＝5×（10－1）＝50－5×1，5作被乘数可看作减乘数补数5倍；


6×9＝6×（10－1）＝60－6×1，6作被乘数可看作减乘数补数6倍；


7×9＝7×（10－1）＝70－7×1，7作被乘数可看作减乘数补数7倍；


8×9＝8×（10－1）＝80－8×1，8作被乘数可看作减乘数补数8倍；


9×9＝9×（10－1）＝90－9×1，9作被乘数可看作减乘数补数9倍。





二、基本算规


（一）口诀法


从上一小节中，我们看出，被乘数1、2、3、4、5、6、7、8、9的运算规律，列表如下，作为口诀（注：学“一口清法”的人，应用此口诀法）。


表1：


小数组 中数组 大数组


1 由下位减乘数补数的1倍 4 由下位减乘数补数的4倍 7 由下位减乘数补数的7倍


2 由下位减乘数补数的2倍 5 由下位减乘数补数的5倍 8 由下位减乘数补数的8倍


3 由下位减乘数补数的3倍 6 由下位减乘数补数的6倍 9 由下位减乘数补数的9倍


假若会“1、2、5法”口算的人，可运用1、2、5加几遍；4、5、6折半看，7、8、9当十算的人，可采用下表，进行计算：


表2：


小数组 中数组 大数组


1 由下位减乘数补数1次 4 本位减补数半数


下位加补数一次 7 本位减补数一次


下位加补数三次


2 由下位减乘数补数2次 5 本位减补数一半 8 本位减补数一次


下位加补数二次


3 由下位减乘数补数3次 6 本位减补数一半


下位减补数一次 9 本位减补数一次


下位加补数一次


以上9个算规，由下列例题详解（本教材中口诀用表1法。）


例1：123×889＝109347（补数111）


图一：


111 123


直拨乘数补数111在算盘左边，被乘数123在右边


图二：


111 122667


个位3，在下位减3×111成为12.2667


图三：


111 120447


十位2，在下位减2×111成为1.20447


图四：


111 109347


百位1，在下位减1×111成为109347，即为积


例2：456×889＝405384


图一：


111 456


直拨乘数补数111在左边，456在右边


图二：


111 455334


个位6在下位减6×111成为45.5334


图三：


111 448784


十位5，在下位减5×111成为4.48784


图四：


111 405384


百位4，在下位减4×111成为405384即积


例3：789×889＝701421


图一：


111 789


直拨乘数补数111在算盘左边，被乘数789在右边


图二：


111 788001


个位9，下位减去9×111成为78.8001


图三：


111 779121


十位8，下位减去8×111成为7.79121


图四：


111 701421


百位7，下位减去7×111成为701421


注：1，图式可改成珠算图式；


2，凡被乘数乘以乘数的补数，无进位从被乘数本位的下位减，有进位从本位减。


以上是补数算法中算规的基本方法——口诀法，用此方法可以算对任何题，我把它称作补数算法的第1种方法。


（二）逐位减补数法


逐位减补数法是否正确，下面我们用例题来加以证明：


例：789×889＝789×（1000－111）＝789000－789×111


即789000－789×111（减9×111，即减999；减80×111，即减8880；减700×111即减77700）可看作在789000中减去999，再减8880，再减77700，得数即701421。这和我们在盘式中（个位9，下位减999，十位8，下位减888，百位7，下位减777）得数完全一致，证明此口诀法准确无误。然而，虽无误，亦有缺陷，对于一般例题，可用此法，但对于特殊例题：如99999×99999，1998×778，27×964等，还有没有更快更完善的方法呢？答案是肯定的，从以下几节中，我们再共同探讨快速法。


首先，再从以上例题中，往下演变，引申出两种补数方法：加补减齐法和加填减强法。


例1：789000－789×111＝789000－（1000－211）×111＝789000－1000×111＋211×111＝789000＋211×111－111000，即789000＋211×111（在盘式上9的下位加1×111，8的下位加1×111，7的下位加2×111）后再在首位减111000得数＝701421，得数也是正确的，即加补减齐法。


例2：789000－789×111＝789000－（800－11）×111＝789000－88800＋11×111＝789000＋11×111（9的下位加1×111，8的下位加1×111，7的下位减<7＋1>×111，即－88800）＝701421，得数也是正确的,即加填减强法。


从而得出逐位减补数法中的加补减齐法和加填减强法，应用到乘法例题中，都是适用的，用那种方法参与运算要由具体数据来定，总之要做到化繁为简，达到“快”和“准”的目的，不要适得其反，这是我们科学速算的原则。


（三）一般公式法


前面提到，如：27×964、1998×778、999992应怎样计算，才会更为快捷、方便。


根据以上原理，笔者研究出补数乘法的一般公式法，暂定为魏氏公式法：


（1）设被乘数的最末一位数的补数为a，乘数的补数为b，那么在被乘数的末位的下位加a×b（a×b有进位者，要进到本位）；


（2）设被乘数去掉尾数后的数为n，那么应从被乘数首位的下位减去（n＋1）×b。注意（n＋1）×b有进位，从首位减，b前有0位，有几个零应移档向后几位再减，就是：先从尾后加a×b，再在次档减（n＋1）×b，这就是补数乘法的一般公式法。


利用此公式可以解决以下类别的数乘以任意数的快速计算问题：


1、被乘数是两位数的例题；


2、被乘数是两位以上的数时，n＋1等于齐数或强数的例题。


如：例1：27×964＝26028（补数036）


（1）先在被乘数个位7的下位加上（a×b），即3×036＝108，得27.108；


（2）再从被乘数的次高档7的本位减去（n＋1）×b，即（2＋1）×036，得26028，即是积数。


例2：19998×778＝15558444（补数222）


（1）先在被乘数个位8的下位加上（a×b）即2×222，得19998.444；


（2）再从被乘数的次高档减去（n＋1）×b即（1999＋1）×222，得15558444，即得积。


注：实际上，（n＋1）×b比原数少了10倍，把（n＋1）再扩大10倍后，就是实际需要减的数。如例2：第1步尾下加上444后，可看作19998444；达到千万位；（1999＋1）×222×10＝4440000，达到百万位；从19998444中减去4440000＝15558444。


以上2例为加填减强法。


例3：999992＝9999800001（补数为00001）


（1） 先在99999的尾数后加00001，得99999.00001；


（2） 再在99999的首位减00001；得9999800001；即积。


因（n＋1）×b有进位，所以从首位减。本例为加补减齐法。利用此一般公式，可以套用任何一道乘法算题，本公式都是正确的。但我们可以从中看出，对于（n＋1）等于齐数或强数的例题，实在是简单而又简单，但对于一般的例题，它并不完全显示优越性，实在是一般公式，却适用于特殊情况。那么，在一般情况下呢？


（四）、补满法


补满法就是把被乘数联成一个整体，被乘数的个位按（10－x）补加补数，中间几位一律按（9－x）补加补数，差几就补几个补数。补到首位时，首位数是x，就从次高位减去（x＋1）×b的乘积，分两种情况，如下例：


1、加补减齐法


例1：9897965×778＝7700616770。（补数222）


（1） 被乘数个位5加补数半数222的一半111成为：989796.611；


（2） 十位6在6的下位加三次补数666成为98979.7277；


（3） 百位9不补；


（4） 千位7下位加两次补数444，成为989.841677；


（5） 万位9不补；


（6） 十万位8下位加一次补数222成为9.92061677；


（7） 百万位9不补；


（8） 从百万位减一次补数222得积:7700616770。


2、加填减强法：


例2：789×789＝622521（补数211）


（1） 个位9在下位加上（10－9）×211成为78.9211；


（2） 十位8,在下位加上（9－8）×211成为7.91321；


（3） 百位7,在7的本位减去（7＋1）×211＝1688（有进位，从本位减）成为622521，即积。


以上介绍的三种方法：口诀法、公式法、补满法都是通用的，套任何一道算题，得数都是一样，归纳起来，也只有两类：


口诀法：即逐位减补数法，从个位到首位逐位减去；


公式法：即补满法，先补后减法，从个位按10补满，中间按9补满，补完后，从首位（x＋1）×b，一次性减去多加的数即得积。


用那种方法好呢？这个要灵活掌握，非靠多算多练，方能熟能生巧，做到举一反三、触类旁通。一道例题中，有时用一种，有时用两种，有时也可用三种方法。


例如：


分节运算法：


例1：8979021×668＝5997986028（补数332）


（1） 被乘数个位1，下减一次补数332，成为897902.0668；


（2） 被乘数十位2，下减二次补数664，成为89790.14028；


（3） 百位“0”不动；


（4） 被乘数千位9下位加一次补数332，成为897.9346028；


（5） 被乘数万位7下位加二次补数664，成为85986028；


（6） 被乘数十万位9不动；


（7） 被乘数百万位8下位加补数一次332，成为9317986028；


（8） 再从首位减去一次补数为积数5997986028；


例2：12100998×88＝1064887824（补数12）


（1） 个位8，下位加补数二次24（加a×b）减（n＋1）×b从百位减去（99＋1）×12。这是998这一节。成为1210087824；


（2） 千位、万位零不动；


（3） 十万、百万、千万按口诀法规运算即：


a、十万位下位减补数一次成为12088887824 ；


b、百万位下位减补数两次成为1184887824；


c、千万位下位减补数一次得积1064887824。


例3：9995＝995009990004999


999×999＝998001


1、乘法个位9的下位加001，成为999.001（公式法）；


2、乘数首位9的本位减001，成为998001。


998001×999＝997002999


1、在1的下位减去001，成为998.00999（口诀法）；


2、十位、百位零不动；


3、千位8，在下位加002，成为998.02999（公式法）；


4、从首位9减去001，成为997002999（公式法）。


997002999×999＝996005996001


1、被乘数个位9的下位加001，成为997002999.001（公式法）；


2、从被乘数千位2的下位减003，成为99700.2996001(公式法）；


3、万位，十万位零不动；


4、从百万位7的下位加003，成为997.005996001(公式法）；


5、从首位9减去001，成为996005996001(公式法）；


996005996001×999＝995009990004999


1、从1的下位减去001，成为996005996000.999(公式法）；


2、十位、百位零不动；


3、千位6，下位加004，成为996005996004999（补满法）；


4、百万位5，下位减006，成为996005.990004999（补满法）；


5、千万位、亿位零不动；


6、十亿位6，下加004，成为996009990004999（公式法）；


7、从首位减001，成为995009990004999（公式法）。





三、“1、2、5”一位数乘法在补数乘法中运用


在实际运算中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数字是以各种形式出现的，会出现各种形式的算式，比如：168752这种算式，用补数算法应用补满法中加填减强法进行运算，这就出现了补加补数5、2、1、3后减2倍补数的形式，而乘数的补数较为复杂（83125），这就要求我们掌握一种新的方法：一位数乘多位数的方法，“1、2、5”法对于初学者则是一种既简便又好学的方法。以下简单介绍之：


（1）“1”的运算方法，用“1”去乘任何一个数，其值不变；


（2）“2”的运算方法，“2”就是要求计算者，能一眼看出任意一个数的2倍是多少。


其口诀是：掌握二倍并不难，算盘横梁分界线；


首位有5暗记1，左下右上斜着看；


梁上没珠加倍算，连续积数一次完。


例：567895×2＝1135790


按照以上口诀方法，把以上数即可分解为：05、05、15、25、35、45六次。


为了加快看数的速度，看2倍5的时候，不要看作10，而应作为1；看2倍15的时候……；看2倍45的时候，不要看作90，而应作为9。在熟记这5个数组的2倍是多少之后，只要看到算盘横梁上面有数，在算盘上采用巧妙的斜看方法，就能很快算出一个多位数的二倍积数。如上例，看的方法：


1、斜看高位上珠5，念为“1”；


2、斜看次高位上珠5，念为“1”；


3、第二位下珠1与第三位上珠5，斜看念“3”；


4、第三位下珠2与第四位上珠5，斜看念“5”；


5、第四位下珠3与第五位上珠5，斜看念“7”；


6、第五位下珠4与第六位上珠5，斜看念“9”，连续读即：1135790。


斜看任何一个数2倍的规律是：1念2，2念4，3念6，4念8，5念1，15念3，25念5，35念7，45念9，“0” 念为0。每个数和大于5能分解的数，各增大1倍，连续起来念，就是一个数的二倍数。


（3）“5”的运算方法：（5＝10÷2）


口诀是：掌握5倍是关键，一个数组折半看。


一次最好看两位，先看双数后看单。


单数挤到最后看，牢记1、5、15数一半。


这就是看5倍的方法。这里，首先要熟记1、5、15这三个数字的一半是多少（在算盘上看时，扩大5倍和缩小2倍，有效数字是一致的）。1的一半是0.5可念5；5的一半是2.5，可念25；15的一半是7.5；可念75。


例：123456789×5＝617283945


1、把被乘数的前两位12分为一个组，它的一半是6；


2、把被乘数的三、四位34分为一个组，它的一半是17；


3、把被乘数的五、六位56分为一个组，它的一半是28；


4、把被乘数的七、八位78分为一个组，它的一半是39；


5、把乘数的最后位9，直接看它的一半是4.5，即45。


最后把各组的一半数，连续起来，就是要求的5倍数，即617283945。掌握了上述“1、2、5”法的方法后，对于3、4、6、7、8、9等数字的组成，都是以1、2、5为基础的。


如：3＝1＋2，4＝2＋2，6＝1＋5，7＝2＋5，8＝10－2，


9＝10－1。


知道了一个数的1、2、5倍是多少了，也就可以知道它的3、4、6、7、8、9倍是多少了。


例：16875×16875＝284765625


（1） 个位5，在本位加（5×83125）415625成为1687.915625；


（2） 十位7，在本位加（2×83125）16625成为169.957815；


（3） 百位8，在下位加（1×83125）83125成为16.97890625；


（4） 千位6，在本位加（2×83125）16625，下位加（1×83125）83125成为1.947265625；


（5） 万位1，在本位减（2×83125）16625，成为284765625，即积。





四、什么情况下，不用补数


科学速算的目的是化繁为简，而绝不能变简为繁。在被乘数和乘数的各位都比较小的情况下，不要勉强用补数。如下例：12123×32321、2002×3003等，此类题用空盘前乘法即可。